Вадим Надырович Бикташев
28.08.2014
Заметку к 70-летию Э.Э., к счастью, удалось найти в интернете, http://www.mathnet.ru/links/38cda25bbbb3ec26496881139cdbf51e/rm177.pdf
Действительно, эта заметка не вполне отражает спектр интересов Э.Э., как «естествоиспытателя», даже если сравнить с его собственным очерком http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?personid=8677&option_lang=rus где он счел нужным упомянуть:
2) Изучение нелинейных волн в активных средах посредством численного решения соответствующих уравнений в частных производных. Мы изучали, в частности, спиральные волны в активных средах и явления, возникающие при прохождении автоволн через отверстия.
Это - как раз та сторона, с которой мы с ним взаимодействовали по науке более всего.
Интерес Э.Э. к этой теме начался до моего прихода в НИВЦ (1984), но, судя по публикациям, не очень задолго до этого; собственно именно этот интерес, вероятно, и привел к тому, что именно он стал моим научным руководителем (наряду с Кринским). Эта его деятельность проходила в тесном сотрудничестве с лабораторией Кринского, в особенности с Аркадием Михайловичем Перцовым, с еженедельными мини-семинарами («мини» - только по количеству участников) в его кабинете. Полагаю, что идейный вклад Э.Э. был весьма существенным во многих публикациях А.М.Перцова с Еленой Андреевной, а также моих и Ириных, но Э.Э. далеко не во всех из них соглашался быть соавтором – у него был очень высокий порог по этому параметру.
Для меня основополагающим было одно его короткое замечание (сделанное в самом начале моей аспирантуры, т.е. в 1985), со ссылкой, кажется, на Гельмгольца, что уравнения взаимодействия частицы с полем и уравнения эволюции самого поля могут или должны быть выводимы из одного и того же более фундаментального уравнения. В физике настоящих элементарных частиц эта идея в чистом виде, по-видимому, не реализовалась, но быть может реализуется как раз для спиральных волн, сказал Э.Э. Это замечание было пророческим – в этом направлении нужно сделать еще много, но уже в мини-обзоре в 2003 [Phys. Rev. E, 67: 026221, 2003] мы эксплицитно ввели в употребление термин «корпускулярно-волновой дуализм» применительно к спиральным волнам. Это было, по существу, теоретическое осмысление наблюдений, сделанных разными людьми в численных и натурных экспериментах, но в особенности в пионерских расчетах, сделанных Е.А. , А.М. и Э.Э. (прим.: Елена Андреевна Ермакова, Аркадий Михайлович Перцов, Эммануил Эльевич Шноль) в 1980-х (только одна из этих работ попала в список публикаций Э.Э.!). Связано это (в некотором смысле уникальное) свойство «корпускулярности» спиральных волн с особенностями спектра линеаризованной задачи, в частности с тем, что их линеаризованный оператор, будучи несамосопряженным, и его сопряженный действуют в разных пространствах, и в отличие от привычной (из обычной, «консервативной», физики) ситуации самосопряженных операторов, здесь эта разница оказывается не только существенной, но решающей. Мне, как физику по образованию, обсуждения этих вопросов с Э.Э. были совершенно необходимы, и думаю, что без них осознание этих важных фактов было бы задержано на много лет. В моих работах до 1998 г. утверждения, связанные с этими математическими вопросами, были достаточно голословными, за что заслуженно подвергались сомнениям со стороны коллег (включая отказы в напечатании статей, где такие утверждения делались). Решающим было численное «доказательство» ключевого факта, локализации критических собственных функций сопряженного линеаризованного оператора («функций отклика» для краткости) в одной модели [Phys. Rev. E, 57(3):2656-2659, 1998], которое было сделано уже в Ириной диссертации, в которой Э.Э. был de facto руководителем, но из присущей ему скромности настоял, чтобы он был записан как один из двух консультантов, и не согласился быть соавтором в соответствующих публикациях.
Уникальная способность Э.Э. видеть, понимать и формулировать проблему одинаково четко и на языке естествознания, и на языке математики, его понимание, что некоторые необходимые математические вопросы не только еще не отвечены, но еще только предстоит сформулировать, и тем не менее, следуя интуиции вычислителя, свести все воедино в численном доказательстве, было решающим в успехе этой работы.
Другое, упомянутое Э.Э. направление, - «дифракция» волн возбуждения на отверстиях – насколько я понимаю, (пока?) не имело столь далеко идущих последствий, но однако же очень характерна для характеристики Э.Э. как естествоиспытателя. Как и в случае с Гельмгольцем, здесь мы видим поиск аналогий в весьма отдаленных явлениях природы через математические закономерности.
Последнее взаимодействие по поводу спиральных волн было по поводу их разрушения вследствие механического движения, уже в конце 2000-х. Этот вопрос возник при взаимодействии Э.Э. с группой Фазли Атауллаханова по моделированию свертывания крови. Э.Э. спросил меня, не знаю ли я каких-либо работ на эту тему (разрушение спиральных волн движением). И надо же было так совпасть, что всего за несколько лет до того мы немного разбирали как раз этот вопрос, в контексте моделирования структурообразования в планктонных сообществах (постановка задачи исходила от Джона Бриндли из Лидсского ун-та). Я ему, конечно, сообщил все, что знал на эту тему, кажется, это было полезно.
Помимо этих «крупных» эпизодов, я много раз обращался к Э.Э. за советом (а иногда и наоборот), и это всегда было полезно. Один пример - про теорию возмущений предельных циклов. Другой (датированный 2003 годом) я прилагаю отдельно (см. внизу).
Последнее замечание. Представление о том, какими должны быть научные семинары, я получил в Пущино, в особенности в НИВЦ/ИМПБ, в особенности, когда на семинарах председательствовал, или хотя бы присутствовал Э.Э. Когда целью семинара является как реальное понимание докладываемых результатов, так и отыскание в них дыр. Со «стулом для докладчика» и всем, что с ним связано. В Великобритании, как вероятно и в США, совсем другая культура семинаров – все вежливо слушают, не перебивая и делая вид, что что-то понимают, потом в конце задают один-два вежливых вопроса, результат – N человеко-часов потерянного времени. Я пытался внедрить «русскую» манеру ведения семинаров в Ливерпуле, но без особого успеха. В Эксетере это получается лучше: помимо «официальных» семинаров, у нас есть «Reading Group», где обсуждаются еще незаконченные работы, и время считается потраченным зря, если слушатели недостаточно разобрались (хотя конечно до настоящего пущинского стиля пока еще далеко). Сначала людям было непривычно, но потом осмелели. Я даже удостоился «официальной похвалы» за это «нововведение» в последней ежегодной аттестации.
=======================
2003 год.
Здравствуйте, Эммануил Эльевич,
Мне жаль, что мою реакцию Вы расценили как раздражение; я вовсе этого не имел в виду - скорее это была попытка иронии, вероятно, не вполне уместной (и вполне возможно не плодотворной), тем более, что дело по-видимому не в физиках и математиках, а во взаимодействии между физикой и математикой, зачастую в одной и той же голове (например моей собственной). Я очень хорошо понимаю, что Вы имеете в виду, когда говорите про хорошо известные факты. Просто я уже некоторое время сражаюсь с некоей ветряной мельницей: вроде бы хорошо известные факты, простая цепочка очевидных до банальности рассуждений, а с выводами люди не всегда соглашаются. Я сам сначала долго не соглашался. Теперь вот только недавно эти очевидные вещи доказывал Юре (прим.: Юрий Евгеньевич Елькин) . Очень может быть Вам ее как раз доказывать вовсе незачем - во-первых, Вам она м/б очевидна, а во-вторых, может не иметь отношения к задаче.
Про Вашу задачу я совсем ничего не знаю кроме того, что диффузия скалярная, реакционная часть содержит малые параметры, и уравнений довольно много (40-50). Я не очень вижу какое принципиальное значение имеет число уравнений; то, что изложено у Тайсона и Кинера м/б переизложено или переинтерпретировано для многомерных систем, стоит только вообразить, что вместо скалярных переменных там стоят векторы, и т.д. Главное предположение, которое нужно сделать, - чтобы быстрая подсистема имела дискретный набор линейно устойчивых положений равновесия при каждом значении медленной переменной, и чтобы сушествовали решения в виде фронтов переключающих из одного в другое (ну и чтобы не было более сложных аттракторов, конечно). Конечно, от того, как устроены диффузионные члены, зависят свойства фронтов.
Но у меня-то первое подозрение было именно насчет тихоновского подхода. После того, как я узнал, что там очень много переменных, оно только укрепилось. Мне кажется, что тихоновские системы среди всех сингулярно возмущенных систем составляют редчайшее исключение, и то, что они доволно часто наблюдаются среди простых систем, обьясняется просто тем, что простых систем не так уж много (подобно интегрируемым системам среди систем общего вида). Рискну предложить на эту тему еще немножко тривиальных рассуждений, заодно попытавшись как-то ответить на вопрос:
> Наверное, не существует общих соображении, как искать такие
> «коллективные" переменные.
Если стандартную Тихоновскую систему переписать в "быстром времени", то получатся правые части, зависящие от эпсилон регулярным образом. Предлагается для удобства считать именно этот вид основным (а исходный - производным).
Итак, первое, что бросается в глаза - это то, что в Тихоновской системе зависимость от эпсилон - линейная. Уже это ссужает класс систем. Впрочем, можно считать, что это линейное приближение по эпсилон, которое просто типичное первое приближение, так что здесь пока все ок (за исключением случаев, когда сингулярная зависимость не уничтожается просто перемасштабированием времени, как например в уже упоминавшемся примере с tanh(u/epsilon), там никакого линейного приближения по эпсилон не получается; но это все-таки особая статья).
Рассмотрим теперь сечение эпсилон = 0. В этом сечении, в Тихоновской системе имеется континуум положений равновесия. Это, конечно, случай сильно вырожденный, но именно поэтому это - сингулярное возмущение.
Теперь попробуем вообразить системы наиболее общего положения, которые определены только одним ограничением: они сингулярны именно в смысле наличия континуума равновесий при эпсилон=0. Тогда Тихоновские системы - это такой подкласс для которого (а) этот континуум - многообразие, или несколко многообразий, но непременно одной и той же размерности, (б) устойчивое/неустойчивое многообразие каждого равновесия из этого континуума - это гиперплоскость, (в) и не просто гиперплоскость, но строго параллельная некоторой координатной гиперплоскости, одной и той же для всех равновесий. То есть огромное количество дополнительных ограничений.
А уж если они соблюдаются, то как искать медленные переменные вроде бы ясно: нужно просто на этом медленном многообразии ввести (вообще говоря, криволинейные) координаты, а дополнительные к этим координаты ввести вдоль устойчивых/неустойчивых многообразий - вот и вся наука: пожалуйте, Тихоновская система. Принципиальных проблем вроде не видно. Локально, по крайней мере. А вот глобально проблемы могут возникнуть, т.к. образуют ли все эти устойчивые/неустойчивые многообразия аккуратное расслоение, или безнадежно запутаются - факт от нас не зависящий. Кроме того, если медленные многообразия разной размерности, то опять же непонятно, как быть. Да и технически, определить быстрые координаты м/б посложнее, чем медленные. А вот если на аккуратное причесывание быстрого расслоения не закладываться, то этих проблем не возникает. Но тогда система остается нетихоновской: все переменные "быстрые".
В конкретной же системе из 40-50 уравнений все еще больше осложняется тем, что там м/б больше одного "малого параметра", и в каком порядке их нужно устремлять к нулю, м/б далеко не так очевидно. Именно поэтому я, в первую очередь, подумал о необходимости проверить численно разумность параметрического вложения. Это опять же, не видя системы...
Эта простая мысль заключается в том, что введение "искусственных" малых параметров в задачу - процедура ничуть не менее невинная, чем использование "естественных" малых параметров, которые "уже есть" в задаче. А также в том, что "естественность" малого параметра вовсе не гарантирует, что аппроксимация будет хорошей (уж это-то совсем хорошо известно). А еще в том, что проверить хорош ли тот или иной "искусственный" или "естественный" малый параметр можно вовсе не строя никаких асимптотик, а путем численных экспериментов. Более того, за исключением редких случаев, когда ряд сходится и удается оценить остаточный член, - это чуть ли не единственный способ понять, хорош малый параметр или нет. Мне кажется, что все это разные формулировки одной и той же мысли; но если первые две не только заведомо банальны, но и имеют отвлеченно-философский характер, последние две формулировки - конкретный рецепт; но несмотря на его столь же абсолютную банальность и очевидность, я что-то не вижу, чтобы люди так целенаправленно делали.
Впрочем, это все может абсолютно не иметь никакого отношение к Вашей задаче, - мне об этом сложно судить, тк я ее совсем не видел и могу только догадываться.
P.S. Про скорость набегающего потока в гидродинамике я не очень понимаю, о какой задаче идет речь; но про небесную механику все кажется довольно ясным: если, например, речь идет о солнечной системе, то в ней все параметры на самом деле фиксированы. А является ли число, скажем 0.001, малым или нет - здесь для физика ответ очевиден (конечно да), а для математика - как мне кажетса, бессмысленен (есть числа больше этого, есть меньше этого). Мы с Ребеккой (прим.: R. Suckley, аспирантка В.Н. Бикташева в Ливерпульском университете) недавно рассматривали задачу (не совсем правильную, но не в этом дело), в которой число 10^{13} было малым параметром, потому что ему противостояло число 10^{28}.
> Вадим, добрый день!
>
> > Дело даже не в ответе, а в постановке вопроса. Два ключевых слова:
> "явный малый параметр" и "быстрые переменные". Все это происходит от попытки
> мыслить в привычных терминах.
> >
> > 1) Явные малые параметры бывают только в воображении математиков
> (точнее, в задачах, придуманных математиками для своих целей), а не в
> задачах естествознания. Исключения наверное есть, но в голову так сразу не
> приходят.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
> Написанное выше содержит раздражение по адресу математиков.
> Думаю, напрасное (не плодотворное). Без замены малых на бесконечно малые,
> т.е. стремящиеся к нулю, рушится почти все здание Математического
> анализа. А он естествоиспытателям, несомненно, полезен.
> Малые параметры, могущие быть сколь угодно малыми, с легкостью
> появляются через граничные условия (как скорость набегающего
> потока в гидродинамике) или если обьект не фискирован (как в небесной
> механике).
>
> Вы привыкли к более сложным ситуациям, это правда.
>-------------------------------------------------------------------------
> > Что бывает на практике: конкретная система уравнений, в которых
> параметров как таковых нет, а есть константы. Например в квантовой
> электродинамике есть константа под названием «постоянная тонкой структуры». Если
>константу обозвать буквой, например альфа, она еще от этого параметром не
>становится. Параметром она становится, если рассмотреть семейство задач, в
> которых эта буква принимает разные значения. Только одно из которых
>отвечает реальности. Например, только альфа=1/137. Рассматривать предельный переход >по этому параметру, например, альфа -
> 0 таким образом, заведомо искусственная >процедура, тк. он будет описывать несушествующие вселенные.
> ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
> Написанные выше факты мне хорошо известны. А точка зрения - чужда.
> Во-первых, тривиальное высказывание, Вам известное "с пеленок": без
> идеализации нет математического (и, вообще, точного) естествознания.
> В природе нет ни материальных точек, ни возбудимых сплошных сред, ни ...
> Во-вторых, квантовая электродинамика строилась, как теория возмущений,
> т.е., грубо говоря, решения искались в виде рядов . Сходятся ли
> эти ряды, если да, то при каких значениях "параметра", и попадает ли в
> интервал сходимости реальное значение - не праздные вопросы.
> Наверное, не сходятся, но, может быть, они асимптотические в смысле
> Пуанкаре.
> Извините за длинные и банальные высказывания.
> ----------------------------------------------------------------------------
> >Это не зависит от того, насколько этот параметр был
> > явным или скрытым. Можно систему уравнений переписать так, что явный
> >параметр станет незаметным, и наоборот. Ее свойства от этого, конечно, не
> меняются.
> ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
> 2) Само понятие "быстрой переменной" в данном значении по-видимому
> неразрывно связано с тихоновской формой уравнений. Простой мысленный
>эксперимент: взять осциллятор ван дер Поля и повернуть его фазовую плоскость на 45
> градусов. Получитса система уравнений, эквивалентная исходной. Где у нее быстрая
> переменная, а где медленная? Обе быстрые, наверное. Так что, асимптотику
> применять нельзя? Конечно, можно, она же эквивалентна исходной. Как?
> Если известно, как системы трансформировать, чтобы быстрые отделить от медленных,
> то все ок. А если нет? Надо отказаться от самого понятия быстрых и медленных
> переменных и вырабатывать другие. Например, быстрая и медленная
> подсистемы. Которые вовсе не обязательно имеют свои отдельные переменные.
> ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
>
>И эти, безупречно правильные соображения, хорошо известны. Могут быть
> "медленные" комбинации исходных переменных и, видимо, не всегда их можно
> рассматривать, как новые координаты в фазовом пространстве (точнее, часть
> таких координат). Идейно родственная проблема. Найти такие комбинации
> исходных переменных, которые слабо "взаимодействуют": если записать
> уравнения для таких переменных, то в правой части "перекрестные" члены
> малы.
> Наверное, не существует общих соображении, как искать такие
> "коллективные" переменные.
> >
> > > Описанная Вами ситуация мне непривычна и интересна.
> >
> Буду рад рассказать больше. К сожалению, это все так до сих пор как
> следует не написано, но это, конечно, не значит, что я не готов это
> обсуждать, даже наоборот.
> > Какой-то прототип в эту сторону присутствует в более подробой статье
> > про диссипацию фронта,
> > http://www.maths.liv.ac.uk/~vadim/dew2/index.html
> > но там, хотя само параметрическое вложение и предложено, но путем не
> > исследовано: только быстрая подсистема, и то в некоем покореженном для
> > аналитического удобства виде. Но уже какие-то черты просматриваются.
> +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
> А вот тут я должен заранее извиниться. Мне всегда было интересно
> обсуждать с Вами научные вопросы. Любопытство мое еще не угасло, но сил
> стало меньше. Есть математические темы, до которых я подолгу не
> добирался. Я хочу к ним вернуться . "Погрузившись ", я не смогу
> всерьез думать еще о чем-то, и боюсь, что Вам не будет никакой пользы
> от обсуждения со мной Ваших (несомненно трудных) проблем.
>
> До свидания. Э.Э.Шноль.
>
> P.S. Юра принес мне статью Tyson-Keener. Там рассматривается только
> система 2х уравнений, и потому она бесполезна для проблемы редукции большой
> системы (скажем, 40-50) уравнений к меньшей.
> Если Вам придут в головы еще какие-то источники, напишите.
Dr Vadim Biktashev Department of Mathematical Sciences vnb@liv.ac.uk http://www.maths.liv.ac.uk/~vadim/
Должность и место работы в 2015 г.: Professor in Mathematics, College of Engineering, Mathematics and Physical Sciences, University of Exeter, UK